数理流计方法讲座第四讲参数估计

。和令对应着一个不同的值,,故户是口,,和的函数一,,‘一一又,上自一其中妥由子样算得的乎均值是称为子样平均值扩,,。是由子样算得的方差称为子样方差显然子样平,,它就是或然函数当要求或然函数达到最大时求,,、均值差一致、子样方差不可能与母体的数学期望这是因为子样统计量也是随机变量,母体的方它是随,出待估参数。,和的估值,,,称为求估值的最。着取样的不同而异但是子样来自母体在一定程,,度上必然反映了母体的特征因而我们能否考虑用,“和去估计云和呢或者用子样的其它统计量去大似然法例〔一〕设变量犷服从‘口分布则其密,,。一度函数为式现从母体中在同样条件下测量中。,即同精度抽得子样…试按最大似然,,,。估计它们呢这样的问题就是参数定值估计问题,一般而言设母体歹是服从某种分布不要求是,,正态分布的随机变量它具有参数口…,,,,,工,…。经随机抽样得子样用子样的某种,,,工,适当的函数算得……分别作为待估参数,,…口的估值称为参数定值估计或称参,,,,,,。一。式组成或然函数。一八卫一‘司丫兀一?。。。法求参数按,一万口士会一口百。数点估计参数定值估计的方法较多存不于得两边取对数,其中最常用的是最大,“。、一一、一一音自,,达到最大值即达到最大值只要将,分别求偏数并令它们为零可得,,。。、一、一,为使达到最大值即,对石及分别求偏数。、一、一,达到最大值即,分别求偏数。似然法和矩法下面分别予以介绍,一最大似然法在第二讲中我们已经就正态分布情形讲过最大,。似然法的基本思想这里再介绍其一般原理,设母体犷的分布密度为口才一一,,,一刁百恩式中为自变量为分布密度中两个待估参数,,,侧此处为方便起见,假定只有两个参数,当有‘个参口旦三」丝主共。一习。以下推导原理同例如,式为一。下万导万一乙‘口口一由不为零才“数时一对于正态分布密度‘一石奋一一,,式得故一“习亡,因,’,“,。邻一,云则歹落在此时五,又设抽得的子样为式可写成。…,,‘一“,,。令满足上式的为域上的概率为则,,上的概率为,‘一牙上刀自一落在邻域,,,在此例中可取子样平均值来,亦即按最大似然法,。同样落在邻域上的概率为,。一。。,口,联合出现的概率为估计参数再由故子样工,,…,。式得。口…““,,,二习,一,亡以牙代云并设满足上式的尹为,口日,则得,‘”,二,一一一上自,一牙气。为连乘的符号对于确定的一组子样式中才一在此例中亦即按最大似然法可取子样方差扩来,,…来说参,,,,。数值一与概率是互相对应的估计参数砂,,即不同的一组已一’“、犷一厂歹一歹一夕“,,一一一一式和式就是式和式这,一当人时由,拌歹一护即零阶中心矩等于式得扩一犷广一阶中心矩等于就是说按最大似然法它们可以作为,,值。用最大似然法估计母体分布中的参数及,的估并不要求歹二阶中心,,。矩就是歹的方差矩是很有用处的值均与矩有关例如,。母体分布是正态的母体的分布可以是连续型的也,。。可以是离散型的因此最大似然法应用甚广在第,二讲中我们已说明在正态分布情况下最小二乘法,,描述一个概率分布的主要特征如上所述一阶原点矩是数学,,,。期望二阶中心矩是方差等,原理与最大似然法原理是一致的从这个意义上说,,。此外它还有别的用途,时象正态分布就是这种情况,一标值必为数学期望由,,。当左为奇数时,拼、亦即例如当扩是对称分布,此时对称轴的横坐,,。一式或式可见,对称分布的随机变量。最小二乘法可认为是最大似然法的一种特殊情形二矩法。估计母体分布中参数的另一种方法是矩法在叙。述矩法之前先要说明什么是矩在数理统计学中,,。其一切奇阶中心矩等于零因此我们可用奇阶中心,。矩来检查分布是否对称这一统计性质在数理统计中用下列定义的偏态系数环,一一飞尸“除了数学期望和方差这两个最重要的随机变量数字特征外,还常涉及到另外一些数字特征矩。设歹为一随机变量,若犷的数学期望—歹七存在并记为,夕人天一歹人…,,,,。则称八为扩的人阶原点矩左阶原点矩的意思就是。歹的左次方的平均值对于离散型设歹的可能取值及其概率为,。来检查歹分布的对称性式中除以砂是使偏态系数夕。无量纲用矩法进行参数定值估计的方法是由子样可确,‘’“。用子样的矩来估计母体的矩例如定子样的各阶矩,,“,艺如前所述的可用子样的一阶原点矩去估计母体的数,一按数学期望定义式可写成,。学期望可用子样的二阶中心矩去估计母体的方差等在正态变量情况下,子样的一阶原点矩就是子样一平均值子样的二阶中心矩就是子样方差,少火二设一按数学期艺的分布密度为了对于连续型,,。因此对于正态母体在求母体数学期望和方,,一望定义式可写成,。而差的估值时矩法和最大似然法可得出同样的结果,矩法是较早创立的方法它的想法比较直观,,?“一二?一,‘二“‘,,一夕。二当左时由式知“歹,且在求某些量的估值时可不必知道母体的分布类型,。计算也较简单应用最大似然法就不同它必须知道,二,。即零阶原点矩等于当左时,由夕‘歹互,。即一阶原点矩就是歹的数学期望护设犷为一随机变量若存在,,,拼、歹一夕户人二,,,一则当…式得一母体的分布类型,但它求得的估值一般要比矩法求得。的好得多号一估值的好坏标堆,。除上述的两种方法外求参数估值尚有其它方法例如在求母体的数学期望时可将子样值由小到大,,。拼、存在时称为犷的左阶中心矩它的意思是将随,重新排列若容量为奇数取其最中间的一个作为,,。机变量中心化即标准化后求其人次方的平均值对于离散型上式为,估值估值若。为偶数,则取其最中间两个的平均值作为。这种估值称为子样的中位值这种方法称为中,。气二习户,,一,左一位值估计法因而也就产生了鉴别和比较估值好坏的。在数理统计学中认为一个好的估值应具有如下,。无偏性无论用何种方法我们对某一参数,问题性质对于连续型,。左一当左时由,上式为三一一式知?,“‘,“二“一,,。日作出的估值一般两者并不相等我们要求估值,”石它所估计的参数在附近摆动即要求无论容量,日作出的估值一般两者并不相等,石它所估计的参数在“拼凡“一由犷一卜式得二当左时,一一叮可见子样方差扩不是犷的方差的无偏估值而是,是多大估值口的数学期望应等于参数氏,。有偏估值如果将一乡称为参数一‘,式乘一个系数不毛了其结果用,满足这个要求的估值的无偏估值。一式的意思是子样值是随机变量由子样,,值得出的某一参数也是随机变量这个随机变量所,可能取得的值应在参数附近摆动而且其平均值应,该正好等于就是说这种摆动并没有偏离目标,,,显然这样的估值是好的。表示则知即一二一儿一,二卫一一刀一一妥,,自,二一一一一〕试证式的是歹式按数学期望运算法则,。一例〔由的无偏估得丢二』品八一一生一刀一二生止衅九。值一“,。称为子样无偏方差数理统计学中采用子样亦即。为的无偏估值,为了保持估值的无偏性。二对夏生材材…万,。无偏方差来估计母体方差而不采用由最大似,一顾及式即得,一。然法或矩法所得出的扩式当相当大时护,“,“。一。实际上可得出相同的结果在按最小二乘法进行直接平差时“式的。而不是用一。式的与。。说明子样平均值是歹的数学期望的无偏估值一一例〔〕试讨论式的护是否犷二。无偏估值我们也是用,来估计测量精度的。一的其原因也在于此,由式按数学期望运算法则得,,我们知道估值是随着取样不同所以我们总希望随着容量的不,一牙一致性其值也是不同的、上、全,,,。断增加应愈来愈接近,。一致性的要求这就对估值提出了具有‘一五一‘一一生,,自补一一“。一一若有下列性质￡一口一口就称为的一致性估值￡。式中为任意小的正数,上式的意思是当时口与之差的绝对,,值大于任意小的正数这一事件的概率为零,即是不可上‘艺‘习上可全,一,一“十一翻““一一一一一一百,,。能事件。的它说明与在很大时它们应是一致,“十一门土可艺为了应用上的方便我们还可用以下方法刻划上,二‘一“一一“。述的一致性如果满足一“一““一二,习一一一一一一二,由式知。。一一犷则称为口的严格一致性估值式的意思是,,,名当当是的无偏估值而且,趋于无穷时之值为零。的方差二叨一一。。,。一,一五,止自一例〔〕试证子样平均值是梦。一致性估值。,前面已经证明了现只要再证。一的严格中第又因,,性气一一、哭夕一一—。一故式为二式成立就够了因为一夏翻一卫兰刀,二一一一而沪为有限值故必有,。可万井一、,近似地为一卫二。、刀一。〕我们可写出,一位,内的概率计算,了二,参照第三讲中的例〔一一了,十人力于区间人式于“尸一一‘和日都一有效性是口的无偏估值对于一定的容量若存在口,如果,左,‘。则称估值较有效上式的意思是对于一定的子样应用不同的参,,数定值估计方法会得出待估参数不同的估值而且,,。有效对于一定的子样应用不同的参,,会得出待估参数不同的估值一一“一一了于一。它们都是无偏的每一个不同的无偏估值都具有本身。的方差一般也是互不相同的根据估值的有效性,,我们应选取其方差为最小的那个无偏估值作为待估参或于“尸一力“、、于“、月‘了立‘、。数的估值这样的估值才是最优的具有无偏性和最,小方差性的估值必具有严格一致性称为最优无偏估。值这一性质实际上就是在测量平差中所谓的最小,尸式中一一万为王方根差的力十由下式计算一一,。中误差原理或最大权原理在最小二乘平差理论中已。经证明这些原理与最小二乘法原理是一致的因此,一了一石式中的,一一,当为已知时可按式计算,在大子样的情况下用当为未知时或代替,按最小二乘平差的结果总是未知量真值的最优无偏,于可得的近似表达式,。估值一号参数区间估计参数定值估计是以子样的某一函数值如平均值、万气扩飘。二、一于了司,。对待估参数如数学期望进行估计的此外还有一,。不过要在》时这样的代替才算标准,,,。种估计方法称为参数区间估计基本思想是为待,,一“式就是母体数学期望的区间估计表达、估参数确定一个有上下限的区间头,并以,。式这个式子表明根据子样算得的和就能估,。给定的概率断言参数的值落在该区间内用一个式计母体数学期望的范围,亦即上下限间的距离而且,。还给出了这一事件的可能性大小概率将一式的第一式与第二式相比较—,所估计的丁的范围在第一式中是万在第二式中是乙,,子表达就是上式左端表示事件叨口,一口仇的概率右端的,就是。,的情况下参数区间估计给定的概率在给定概率后者大于前者而估计范围为真实即,确实所在估计、,。的实质就是找上下限和为使事件日,,氏与实际情况相符,给定的概率必须使该事件为大,。下限和为使事件日,,给定的概率必须使该事件为大。,的上下限内的概率也是后者大于前者这就是说在子样容量固定时所取范围愈宽此范围包含在,,。、。概率事件在数理统计学中一般令为万形,内的可靠性愈大这里存在一个矛盾我们希望估计,。或形参数区间估计与参数定值估计不同估值所属的范围而后者指出的是定值,。,,范围要小而可靠性要大这在固定时是办不到的,一因为估计范围小了可靠性也要变小这从式,,。看得很清楚由此可见如果要不降低可靠性而要,,,固定时是办不到的式而要前者指出了各有用途,,,。、一一可按实际需要决定估计方法缩小估计范围由式知那就只有增,,。本节叙述大子样的参数区间估计有关,加子样容量这一方法因与杯成反比故无,。小子样问题将在下一讲中作适当补充一母体数学期望的区间估计。其意义不大式中右端的概率有一专门名词,限增加在,一称为,。丸,,。设互为母体子样为,…,,,容量置信概率或置信度简称信度左端的由上下限构造,。为大子样根据子样可算得子样平均值、。和子样方差的区间称为置信区间上下限两端点称为置信限,“或艾为“。若母体为正态,‘一互、若母体非正态丁,一例如间是‘一,则子样平均值,因为是大子样中的第二式以男的信度给出了置信区,牙补而置信上限是牙置,,,‘’’‘一即切,‘’‘’研、杯们呀邝,,,。信下限是一一一二母体方根差的区间估计利用较多的数学知识可以证明当母体为正态,,分布时对于大子样子样方根差的分布为近似正态,,分布“其中为子样方根差的,但在一般情况下往往使用的信度为万,劣此时母体平均数的区间估计公式为,??一’“于’““‘一”万兰兰二飞??尸‘一‘”““‘”““了,一”形兰兰二但在一般情况下往往使用的信度为万,劣此时母体平均数的区间估计公式为,??一’“于’““‘一”万兰兰二??尸‘一‘”““‘”““了,一”形兰兰二万及。一一“形一方根差。,在这种情况下念,,念母体方根差的区间估计公式未知,用或代但要,。式中的系数按务所述的方法由概率积分表也与一式类似,因。称正态分布表中查得一般母体平均数的区间估计公式为,““于一,,》故有一卜、。一念寿一。。户根据由正态分布表查得公式的适用范围是,,母体为正态分布已知值不要求是大子样母体,。户根据由正态分布表查得,母体为正态分布??。“一一,”,寿涤?一‘?非正态分布知由,,已知值,。,即大子样或未一,,或时也能得出近似有用的结果代,但要求。。而当例〔一〕从一台机床加工之轴随机抽取,件,测量其椭圆度得平均值毫米方根差,毫米,如信度定为万,试计这台机床加工的念念一般母体方根差的区间估计公式为,一二“口百“遭生、气一丽,舀杯一。轴的椭圆度的母体平均值之上下限一一按估计上限中第二式算得。一例〔的同例〔,估计上限〕试对,作区间估计?二估计下限一?二奋气犷火毫米一?毫米杯厄丽了厄丽二杯估计下限一杯厄石一一的区间估计表达式为杯杯一?一火些二二故。王。故在信度为舫男时“的置信区间为柳酬网赢」。万,摄影测之量编著原理卓、、、本书是武汉测绘学院王之卓教授编著的一部关于摄影测量理论方法技术仪器和应用方。面的重要著作重点是航空摄影测量的原理,、、全书共分二十六章系统地讲述了摄影测量的解析基础单象双象,象片纠正和正射象片微分纠正原理立体测图仪结构及其测图原理,,、,、单航线区域网解析以及摄影测量的自动原理。、化与数字化还介绍了地面摄影测量近景摄影测量和特殊摄影测量并将有关的数学知识及公,。式作为附录附于书后、作者参考了美英、、。俄等大量文献吸取了国外的先进技术因此本书内容丰富可,,德,、。供测绘科研生产技术人员和大专院校有关专业师生学习参考,。本书由新华书店发行一元预定出版时间,月开本页估价年一

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